Le modèle du tas de sable, de la physique à la combinatoire

Lors de cet exposé, je présenterai le modèle du tas de sable ainsi qu’un tour d’horizon de ma recherche sur le sujet. Le modèle du tas de sable est un modèle discret de diffusion isotrope proposé par les physiciens Bak, Tang et Wiesenfeld (1987). Il se définit sur tout graphe généralement fini, par la distribution de grains sur ses sommets et adopte la dynamique suivante : si un sommet à plus de grains que de voisin, alors il peut s’ébouler et en donner un à chacun de ses voisins.

Parmi toutes les distributions, certaines ont particulièrement intéressé les physiciens pour des raisons de criticalité. Ces distributions de grains appelées configurations récurrentes (notion venant des probabilités) font apparaitre plusieurs propriétés reliées à des objets combinatoires comme les arbres, les fonctions de parking, les permutations ou les polyominos parallélogrammes. On verra quelques résultats analogues dans le cas du graphe infini qu’est le réseau carré Z² et certains de ses sous-graphes.