Fonctions qui préservent toutes les congruences d’une algèbre

Toute composee de fonctions d’une algèbre préserve evidemment ses congruences.Y en a-t-il d’autres ? La réponse dépend de l’algèbre. Par exemple, avec l’algèbre additive ou (additive et multiplicative) sur N , il y a de telles fonctions dont certaines sont a priori assez surprenantes, comme la fonction partie entiere de e x! (le produit du nombre d’Euler par la factorielle). Il y en a aussi pour l’algèbre Z des entiers qui est une fonction à la Bessel. En revanche, sur l’algèbre des mots avec la concaténation sur un alphabet au moins ternaire, il n’y a que les solutions évidentes. On discutera aussi du cas d’autres exemples relevant de l’algèbre et/ou de l’analyse. Tout surprenant que cela puisse paraitre, l’origine de cette etude est une question de Jean-Eric Pin relevant de la theorie des langages.