Opérateurs d’échelle généralisés et une forme normale pour des endomorphismes

L’algèbre de Weyl (d’indice 1), bien connue des physiciens, est engendrée par deux éléments a et b qui, s’ils ne commutent pas, possèdent une relation de commutation bien maîtrisée : ab-ba=1. Une conséquence directe d’un théorème d’algèbre (le théorème de densité de Jacobson) montre que tout opérateur sur les polynômes peut être vu comme la limite d’une suite d’éléments de l’algèbre de Weyl. Il est même possible de construire explicitement une telle suite. Dans cet exposé je montre qu’un résultat similaire peut être obtenu si on remplace les éléments a et b par des opérateurs d’échelle généralisés, soit deux opérateurs : R, montant, et L, descendant, sur un espace vectoriel de dimension infinie, sans aucune relation de commutation particulière. Une construction algorithmique est également possible dans ce cadre généralisé, et elle conduit à une notion de forme normale pour des opérateurs.