Quentin Guilmant (LIX, Ecole Polytechnique)

Les nombres surréels forment une classe de nombres fascinante sous nombre d’aspects. D’une part, ils généralisent fortement les nombres réels en intégrant des infiniment grands comme les ordinaux et des infiniment petits et supportent des fonctions standards comme l’exponentielle et le logarithme. D’autre part, ils ont une structure formelle très riche, sous forme de séries de Hahn à coefficients réels. Cette écriture généralise au passage la forme normale de Cantor pour les ordinaux. Enfin, cette classe est universelle dans le sens où tout corps ordonné est isomorphe à un sous-corps des surréels. Il en va donc de même pour les corps réels clos ou les corps de Hardy. Ces dernières années, les nombres surréels se sont vus dotés d’une dérivation. Il s’agit là de dériver les nombres surréels eux-mêmes. En effet, les corps de Hardy trouvant leur place dans les surréels, beaucoup de ces nombres peuvent être vu comme des fonctions sur lesquelles une dérivation fait sens. Avec les corps de Hardy sous-jacent et cette notion de dérivation, on peut dégager des notions d’asymptotique et de dynamiques. En considérant des travaux antérieurs sur les ordinateurs analogiques, il se dégage alors une perspective pour modéliser l’évolution des calculs dans le monde surréel.

Dans cet exposé, je ferai une brève introduction aux surréels et expliquerai comment faire toutes les opérations décrites plus haut. Dans un deuxième temps, j’expliquerai comment trouver de bon sous-corps des nombres surréels qui sont plus agréables à utiliser et qui nécessitent moins d’ordinaux et sont donc plus aptes à supporter des notions d’effectivité. Enfin je proposerai des pistes, en cours d’étude, pour les appliquer au calcul et l’étude asymptotique de dynamiques et d’algorithmes.