Systèmes dynamiques et numération

Les systèmes dynamiques ont largement prouvé leur utilité pour la modélisation de nombreux phénomènes du monde numérique, comme par exemple la modélisation de l’exécution d’un algorithme. Un système dynamique à temps discret est défini comme l’action d’une application agissant sur un espace compact. On étudie ainsi l’évolution du système, sous l’action du temps discrétisé. Puisque, très grossièrement, les ordinateurs ne traitent que des données finies, ils ne voient que des orbites périodiques. La question de la pertinence de théories dynamiques classiques comme la théorie ergodique se pose alors dans ce contexte.

Nous illustrons cette problématique dans le cadre de la numération en base beta et de la propagation de la retenue, dans un travail en collaboration avec C. Frougny, M. Rigo et J. Sakarovitch. Nous fournissons des estimations de la longueur moyenne de la propagation de la retenue lors de l’application de l’application successeur, et nous relions l’étude des orbites finies aux orbites génériques produites par l’odomètre (aussi appelé “machine à additionner”) considéré comme un système dynamique.