Damien Jamet (LORIA, Nancy)

Un hyperplan discret de vecteur normal v est l’ensemble des points de Z^n situés entre deux hyperplans affines de vecteur normal v. L’épaisseur d’un hyperplan arithmétique est la distance entre les deux hyperplans affines qui le définissent. L’épaisseur connectante de v est la borne inférieure des épaisseurs des hyperplans discrets connexes* de vecteur normal v.

1) La première partie de mon exposé sera consacrée à la question suivante : « étant donné un vecteur v, quelle est son épaisseur connectante ? »

Nous montrerons que cette épaisseur connectante est totalement déterminée par le développement de son vecteur normal suivant un algorithme bien connu de fractions continues multidimensionnelles, le Fully Subtractive.

2) Dans la deuxième partie, nous nous intéresserons aux cas limites, à savoir les hyperplans discrets dont l’épaisseur est égale à l’épaisseur connectante de leur vecteur normal. Quelle est la topologie de ces hyperplans ? Possèdent- ils une structure sous-jacente particulière ?

3) Dans la dernière partie de mon exposé, j’exposerai mes derniers travaux sur la construction d’hyperplans discrets approchant l’hyperplan critique à partir de développements “hybrides” en fractions continues (Brun, Selmer, Fully Subtractive)

  • “connexe par faces” : lorsque les points de Z^n sont représentés par des cubes unités, on dit que ces deux points sont adjacents s’ils partagent une face. On dit qu’un ensemble est connexe, si’il existe une suite de points adjacents entre tous bi-points de cet ensemble.