Modélisations de l’algorithme LLL par des systèmes dynamiques et analyses probabilistes des modèles

L’algorithme LLL est un algorithme de réduction de réseaux euclidiens qui à partir d’une base d’un réseau, construit une “bonne base” ayant de bonnes propriétés euclidiennes (vecteurs courts et assez orthogonaux). L’algorithme LLL est omniprésent dans plusieurs domaines de l’informatique mathématique comme la cryptographie ou l’arithmétique des ordinateurs mais son comportement probabiliste est encore mal compris.

Une analyse probabiliste directe de LLL semble aujourd’hui encore difficile car sa dynamique en grande dimension est complexe. Ces dernières années, l’équipe de Caen a proposé plusieurs modèles simplifiés qui modélisent plus ou moins fidèlement les exécutions de LLL. L’équipe a également modélisé les réseaux euclidiens aléatoires rencontrés en cryptographie afin d’être le plus proche possible des applications.

L’objectif de l’exposé est de présenter les différents modèles d’exécution et de décrire les premiers résultats probabilistes obtenus. Nous discuterons de la cohérence des résultats avec ceux connus pour le LLL en petite dimension. Nous aborderons aussi la généralisation de ces résultats à des modèles plus complexes.

La présentation s’appuie sur les travaux de: Julien Clément, Mariya Georgieva, Fabien Laguillaumie, Manfed Madritsch, Brigitte Vallée, Antonio Vera.