Lionel Garnier (LE2I, Université de Dijon)

Les cyclides de Dupin ont été inventées en 1822 par le mathématicien français Pierre-Charles Dupin. Ce sont des surfaces algébriques de degré 4, à lignes de courbure circulaires, possédant une équation paramétrique et deux équations implicites équivalentes.

J’illustre à l’aide d’exemples l’apport de ces surfaces pour la modélisation géométrique à travers l’utilisation de ces cyclides pour la jointure de surfaces algébriques. L’utilisation des cyclides de Dupin permet de remplacer un problème de jointure en 3D par un problème de jointure plus simple en 2D en construisant deux arcs de cercles modélisés par des courbes de Bézier rationnelles quadratiques. De plus, la paramétrisation initiale des surfaces n’intervient pas. Cependant, les propriétés géométriques des cyclides de Dupin impliquent que ces surfaces soient de révolution.

Pour faire le lien entre ces nouvelles primitives et les surfaces paramétriques, qui sont largement utilisées en modélisation géométrique, je présente la conversion des cyclides de Dupin en surfaces de Bézier rationnelles biquadratiques. Je donne également des critères nécessaires et non suffisants afin de construire une surface de Bézier rationnelle biquadratique convertible en un carreau de cyclide de Dupin. Deux algorithmes sont présentés selon que l’on obtienne :

  • Soit un carreau de cyclide de Dupin générique,
  • - Soit un carreau de tore ou de sphère double.