Anne-Elisabeth Baert (LaRIA, Université de Picardie)

Nous étudierons dans cet exposé, les propriétés des composantes connexes d’un certain modèle de graphes aléatoires, le modèle G(n,t) (modèle dit “à temps continu”), pour observer un phénomène connu sous le nom de «naissance de la composante géante».

Lors de l’évolution des graphes aléatoires, les premières composantes qui apparaissent sont des arbres, i.e., graphes ayant une arête de moins que de sommets. Ensuite, les unicycles apparaissent puis les premieres composantes complexes , i.e., les graphes connexes dont le nombre d’arêtes est strictement supérieur au nombre de sommets). Les (l+1)-composantes d’un graphe aléatoire, sont ainsi définies comme étant les composantes connexes ayant l+1 arêtes de plus que de sommets.

Aprés avoir donné des méthodes d’énumérations exactes des composantes connexes, nous étudierons le nombre de créations de (l+1)-composantes pendant l’évolution du graphe aléatoire. Nous montrerons, en particulier, que la variable aléatoire définie par le nombre de créations de (l+1)-composantes est concentrée autour de sa moyenne. Pour obtenir les résultats présentés ici, les méthodes du modèle probabiliste G(n,t), sont combinées avec des méthodes asymptotiques d’énumération développées par Wright et par Bender, Canfield et Mac Kay.