Sébastien Fourey (GREYC ISMRA, Caen)

Travail commun avec T. Yung Kong et Gabor T. Herman

En géométrie discrète, on cherche entre autres à développer des outils théoriques mais aussi pratiques pour étudier les images telles qu’elles sont manipulées par les ordinateurs : typiquement des tableaux de valeurs. Dans ces tableaux, chaque valeur est associée à une portion d’un espace n-dimensionel, portion qui est communément appelée un « spel » (pour space element). Dans le cas présent, les seules valeurs autorisées sont 0 et 1.

Du point de vue topologique, par exemple, plusieurs notions classiques ont été adaptées au cas discret. Cependant, on remarque que beaucoup de résultats dans ce domaine sont énoncés, et démontrés, au cas par cas. On en donnera quelques exemples en mettant en évidence (c’est facile) les inconvénients d’une telle approche.

Le but du travail présenté ici est de définir un cadre axiomatique suffisamment général pour qu’il englobe tous les espaces discrets considérés classiquement ; et suffisamment riche pour permettre de prouver à partir de ses axiomes un grand nombre de résultats. L’intérêt est le suivant : tout résultat énoncé dans ce cadre est vrai pour tout espace vérifiant les axiomes.

Après une introduction, on présentera le cadre dont il est question ici, les GADS (?), et on donnera quelques résultats démontrés dans ce cadre. Enfin, si l’heure le permet, on présentera un problème ouvert en rapport avec tout cela…