Un nombre d’entrelacement pour des courbes discretes et son application a la simplification d’une caracterisation globale des points simples en 3D

La caracterisation (globale) de la preservation de la topologie en imagerie est un probleme resolu en dimension 2 mais pas en dimension 3. C’est pourtant la notion fondamentale qui aboutit a la definition de la sous-homotopie communement admise a partir de la definition des points simples. La caracteristique d’Euler a ete largement utilisee dans un premier temps pour caracteriser la preservation de la topologie en 3D mais montre des limites. Aussi, une caracterisation utilisant le groupe fondamental (cf Kong ou Bertrand) semble plus judicieuse. Suivant cette caracterisation, un point, pour etre simple, doit verifier certaines proprietes en ce qui concerne la connexite de l’objet considere, celle de son complementaire ainsi que des conditions d’isomorphismes entre groupes fondamentaux, tant ceux de l’objet (avec ou sans le point) que ceux de son complementaire (idem). Au cours de cet expose, on presentera un nouvel outil : le “linking number”, traduisez nombre d’entrelacement, defini pour des couples de courbes de voxels. Cet outil, analogue du meme nombre defini en theorie des noeuds, permet de montrer qu’il n’est nul besoin de considerer le groupe fondamental du complementaire d’un objet pour characteriser le fait qu’un point peut/ne peut pas etre efface de cet objet sans changer sa topologie au sens considere.