Fonctions courbes et fonctions parfaitement non linéaires sur $Z_q$

Nous nous intéressons ici à la notion de fonctions courbes et de fonctions parfaitement non linéaires définies sur un alphabet $Z_q=(Z/qZ)$. Ces notions ont d’abord été définies dans le cas booléen ($Z_2$). Elles sont équivalentes dans ce cas là.

Avant de s’intéresser à la généralisation de ces notions, nous rappellerons comment sont utilisées les fonctions booléennes en cryptographie et en quoi une fonctions courbe et une fonction parfaitement non linéaire sont des ``bonnes’’ fonctions cryptographiques.

Kumar a généralisé la notion de fonctions courbes et Nyberg celle des fonctions parfaitement non linéaires.

Après avoir expliqué pourquoi ces personnes ont eu besoin de généraliser ces notions, nous montrerons que ces notions ne sont plus équivalentes lorsque $q$ n’est pas un nombre premier.

Nous montrerons ensuite qu’aucune construction connue de fonctions courbes ne donne des fonctions parfaitement non linéaires quand $q$ n’est pas un nombre premier. Nous terminerons donc par une nouvelle construction qui donne des fonctions parfaitement non linéaires.