Un nombre d’intersection pour des chemins de surfels sur une surface discrete

Apres avoir introduit de facon succincte le cadre des travaux presentes ici : les surfaces surfels (voir expose de l’an passe par A.Lenoir), on definit un nouvel outil permettant de demontrer des theoremes relatifs a ce type de surface. L’etude des proprietes topologiques d’objets discrets comme ces surfaces passe souvent par la definition du groupe fondamental (voir Kong ou Bertrand). Pour l’exemple, la justification theorique des algorithmes de squelettisation fait usage du groupe fondamental. Il est definit a partir des classes d’equivalences de chemins fermes issus d’un point de l’objet appele point de base. La relation d’equivalence utilisee repose sur une notion de deformation discrete coherente. On peut alors parler d’homotopie entre chemins.

Un question tres simple peut alors se poser : Un chemin alpha est- il homotope a un autre chemin beta donne ? L’outil definit ici permet dans certain cas de repondre a cette question; on en donne des exemples simples. Cet invariant est tout simplement la somme algebrique du nombre d’intersections transverses et orientees entre deux chemins. L’invariance de ce nombre apres une deformation homotopique de l’un ou l’autre des chemins, bien que tres intuitive, est etablie dans une demonstration assez longue dont les grandes etapes sont rappelees.

En conclusion, on utilise cet invariant pour prouver un nouveau theoreme de Jordan pour des courbes fermees simples reposant sur des surfaces de surfels.