Présentation et analyse d’un test d’irréductibilité absolue des polynômes

Un polynome a coefficients dans un corps k est dit absolument irreductible s’il est irreductible sur toute extension algebrique de k. Nous presentons un test base sur les conditions suivantes: Soit f un polynome de k[x_1, …, x_r]; si f est irreductible sur k et admet une solution simple dans k^r, alors f est absolument irreductible. Si maintenant k est l’ensemble Q des nombres rationnels, il est naturel en arithmetique de rechercher ce critere sur la reduction de f modulo un nombre premier. En effet, si f mod p verifie ces conditions (sur F_p),il est absolument irreductible et donc f aussi. Nous montrons inversement que sif est un polynome absolument irreductible, f mod p a une tres bonne probabilite de remplir les conditions du critere. Pour ce faire, nous denombrons certaines classes de polynomes sur les corps finis, en utilisant des principes de combinatoire et d’algebre algorithmique. Enfin, en choisissant un espace de polynomes de Q[x_1, …, x_r] convenable, on en deduira que la probabilite qu’un polynome absolument irreductible ne verifie pas ce critere modulo p pour tout p parcourant un ensemble de n nombres premiers tend tres rapidement.